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Tese de Doutorado
DOI
10.11606/T.55.2018.tde-25072018-104835
Documento
Autor
Nome completo
Rafaella de Souza Martins
E-mail
Unidade da USP
Área do Conhecimento
Data de Defesa
Imprenta
São Carlos, 2018
Orientador
Banca examinadora
Grulha Junior, Nivaldo de Góes (Presidente)
Menegon Neto, Aurélio
Molina, José Luis Cisneros
Morgado, Michelle Ferreira Zanchetta
Título em português
Sobre a topologia das fibrações de Milnor
Palavras-chave em português
Categoria subanalítica
d-regularidade
Fibração de Milnor
Fibração de Milnor-Lê
Valores críticos não isolados
Resumo em português
Nesta tese abordaremos dois tipos de problemas relacionados aos célebres Teorema da Fibração de Milnor e Teorema da Fibração de Milnor-Lê para o caso real com valores críticos não isolados. Primeiramente, asseguramos fibrações do tipo Milnor-Lê para F : (Xm, 0) → (Yn, 0), germe de aplicação subanalítico com X e Y espaços subanalíticos sobre C \ {0} uma curva subanalítica conexa em Y e sobre um subespaço analítico suave W ⊂ Y de dimensão p, n ≥ p ≥ 2, sob algumas condições. Em particular, mostramos a existência das fibrações sobre o discriminantes de germe de aplicações subanalíticos, caso esse ainda não estudado na literatura, normalmente o conjunto dos valores críticos são desconsiderados. Finalizando nossa análise da categoria subanalítica, certificamos que existe a fibração de Milnor-Lê para f : (X, 0) →(Rp, 0), com dimensão de X maior que p ≥ 2, subanalítica e X subanalítico com valores críticos não isolados, definindo d-regularidade. Abordamos estes problemas utilizando resultados de campos de vetores rugosos. Em uma segunda etapa apresentamos um novo critério necessário e suficiente para verificar a importante propriedade de transversalidade de um germe de aplicação real f de classe Cl, l ≥ 1. Fazendo uso também de uma recente ferramenta desenvolvida, a D-regularidade, verificamos condições para a existência das fibrações do germe de aplicação Ψ F, X : (Cn, 0) → (C, 0) não holomorfo, dado por Ψ (z, z̄) = Σnj=1 kjtjzj azj bj, aj, bj ≥ 0 com aj = bj para pelo menos um j e aj ≠ bj para ao menos um j, com j = 1, ... , n. Observamos que ΨF, X são polinômios homogêneos pesados mistos com R+ -ação. Consideramos ΨF, X : (R2n ,0) → (R2, 0) germe de aplicação analítico real. Estudamos a topologia dessas fibrações nos reais, constatando que o discriminante tem dimensão 1 e por isso tem ambas as fibrações conhecidas. Por fim exibimos um homeomorfismo entre as fibras dos valores regulares e dos valores críticos.
Título em inglês
On the topology of the Milnor fibrations
Palavras-chave em inglês
d-regularity
Milnor fibration
Milnor-Lê Fibration
Non-isolated critical values
Subanalytic category
Resumo em inglês
In this thesis two types of problems related to the famous Milnor Fibration Theorem and Milnor-Lê Fibration Theorem for the real case with non-isolated critical values will be addressed. Primarily, we assure the fibrations of type Milnor-Lê for the germ F : (X, 0) → (Y, 0) subanalytic with X and Y subanalytic spaces on C \ {0} a subanalytic connected curve in Y and over a smooth analytical subspace W ⊂ Y of dimension p, n &ge p ≥ 2, under some conditions. In particular, we show the existence of the fibrations about the discriminants of subanalytical map-germ, if this not been studied in the literature, usually the set of critical values are disregarded. Finalizing our analysis of this subanalytic category, we certify that there exist the fibrations of type Milnor-Lê to f : (X, 0) → (Rp, 0), with dimension of X greater than p ≥ 2, subanalytic and X subanalytic with non-isolated critical values, setting d -regularity. We address these problems using results of the rugose vector fields. In a second part, we present a new necessary and sufficient criterion to verify the important transversality property of a real map-germ f of class Cl, l ≥ 1. Using a recent developed tool, D-regularity, we verify conditions for the existence of the fibrations of map-germ Ψ F, X : (Cn, 0) → (C, 0) non holomorphic, given by Ψ (z, z̄) = Σnj=1 kjtjzj ajzb, aj, bj ≥ 0 with aj = bj for at least one j and aj ≠ bj for at leeast one j = 1, ..., n. We note that Ψ F, X are mixed weighted homogeneous polynomials with R+-action. We consider ΨF, X : (R2n, 0) → (R2, 0) real analytic map-germ. We studied the topology of these fibrations, noting that the discriminant has dimension 1 and therefore has both the fibrations known. Lastly we show a homeomorphism between the fibers of the regular values and the critical values for a case special this family.
 
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Data de Publicação
2018-07-26
 
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