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Dissertação de Mestrado
DOI
10.11606/D.55.2006.tde-23022007-103210
Documento
Autor
Nome completo
Fernanda Tomé Alves
Unidade da USP
Área do Conhecimento
Data de Defesa
Imprenta
São Carlos, 2006
Orientador
Banca examinadora
Carvalho, Alexandre Nolasco de (Presidente)
Miyagaki, Olimpio Hiroshi
Soares, Sérgio Henrique Monari
Título em português
Blow-up de soluções positivas de equações semilineares
Palavras-chave em português
Blow-up
Equações semilineares
Resumo em português
Considere o problema de valor inicial e de fronteira 'u IND.t'= 'delta'u + f(u) em 'ômega' x (0, T), u(x, 0) = 'fi'(x) se x 'PERTENCE A' 'ômega', u(x, t) = 0 se x 'PERTENCE A' 'delta' 'ômega', 0 < t < T, onde ­'ômega' é um domínio limitado em 'R POT.n'com bordo 'C POT.2', f é continuamente diferenciável com f(s) > 0, e 'fi' é não-negativa e suave sobre 'ômega''BARRA' com 'fi'=0 sobre 'delta''ômega'. Suponha que a única solução u(x,t) possui blow-up em tempo finito T < 'INFINITO'. A questão que se coloca é: onde ocorre o blow-up? Neste trabalho provamos que: se 'ômega'='B IND.R''ESTÁ CONTIDO EM''R POT. n', então o blow-up ocorre apenas em r=0, Além disso, se f(u)='u POT.p'p > 1, então u(r,t)'< OU = 'C/'r POT.2'('gama'-1) para qualquer 1 < 'gama'< p, e assim 'limsup IND. t'SETA'T'-||u(u.'t)||q < 'INFINITO'se q < n(p-1)/2. No caso não simétrico onde 'ômega' é um domínio complexo, provamos que conjunto de blow-up é um subconjunto compacto de 'ômega'. Se f(u)='u POT.p', p > 1, então u(x,t)'< OU = 'C/'(T-t) POT. 1/p-1' e, se n=1,2 ou se n'< OU='3 p'< OU='(n+2)/(n-2), então 'tau'POT. 'beta'u(x+'Ksi', T-'tau''SETA''C IND. 0' quando 'tau''SETA''0 POT. 1/2'e 'C IND. 0'= 'beta'POT.'beta''onde 'beta'= '(p-1) POT. -1'. As provas das estimativas essenciais para demonstração desses resultados são feitas utilizando o Princípio do Máximo
Título em inglês
Blow-up of solutions of the semilinear equations
Palavras-chave em inglês
Blow-up
Semilinear equations
Resumo em inglês
Consider the initial-boundary value problem 'u IND.t'= 'delta'u + f(u) in 'ômega' x (0, T), u(x, 0) = 'fi'(x) if x 'BELONGS' 'ômega', u(x, t) = 0 if x 'BELONGS ' '\PARTIAL' 'ômega', 0 < t < T, where ­'ômega' is a bounded domain in 'R POT.n'with 'C POT.2', f is continuously differentiable with f(s) > 0, and 'fi' is nonnegative and smooth on 'ômega''BARRA' with 'fi'=0 on '\PARTIIAL''ômega'. Assume that the unique solution u(x,t) blows up in finite time T < 'INFINITO'. The question addressed is: where does the blow-up occur? In this work we prove: if 'ômega'='B IND.R''IS CONTAINED EM''R POT. n', then blow-up occurs only at r=0, Moreover, if f(u)='u POT.p'p > 1, then u(r,t)'< OU = 'C/'r POT.2'('gama'-1) for any 1 < 'gama'< p, and hence 'limsup IND. t'SETA'T'-||u(u.'t)||q < 'INFINITO'se q < n(p-1)/2. In the nonsymmetric case where 'ômega' is a convex domain, we prove that the blow-up set lies in a compact subset of 'ômega'. If f(u)='u POT.p', p > 1, then u(x,t)'< OU = 'C/'(T-t) POT. 1/p-1' and, if n=1,2 or if n'< OU='3 and p'< OU='(n+2)/(n-2), then 'tau'POT. 'beta'u(x+'Ksi', T-'tau''SETA''C IND. 0' where 'tau''SETA''0 POT. 1/2'e 'C IND. 0'= 'beta'POT.'beta''where 'beta'= '(p-1) POT. -1'. Elementary applications of the Maximum Principle are used to prove the essential estimate for the proofs of these results.
 
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dissertacao.pdf (881.52 Kbytes)
Data de Publicação
2007-02-28
 
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