Este trabalho está voltado para o estudo de uma classe de funções contínuas e limitadas f : [0; 'INFINITO') 'SETA' X para as quais existe 'omega' '> OU =' 0 tal que 'lim IND. t' 'SETA' 'INFINITO' (f(t + 'omega') - f(t)) = 0. No decorrer do trabalho, chamaremos estas funções de S-assintoticamente 'omega'-periódicas. Nós discutiremos propriedades qualitativas para estas funções e algumas relações entre este tipo de funções e a classe de funções assintoticamente 'omega'-periódicas. Também estudaremos a existência de soluções fracas S-assintoticamente 'omega'-periódicas para uma classe de primeira ordem de um problema de Cauchy abstrato bem como para algumas classes de equações diferenciais funcionais parciais neutras com retardo não limitado. Algumas aplicações para equações diferenciais parciais serão consideradas

This work is devoted to the study of the class of continuous and bounded functions f : [0 'INFINIT') 'ARROW' X for which there exists 'omega' > 0 such that 'limt IND.t 'ARROW' 'INFINIT'(f(t + 'omega'!) - f(t)) = 0 (in the sequel called S-asymptotically !-periodic functions). We discuss qualitative properties and establish some relationships between this type of functions and the class of asymptotically 'omega'-periodic functions. We also study the existence of S-asymptotically 'omega'-periodic mild solutions for a first-order abstract Cauchy problem in Banach spaces and for some classes of abstract neutral functional differential equations with infinite delay. Furthermore, applications to partial differential equations are given