Neste trabalho estudamos existência, multiplicidade e não existência de soluções não triviais para o seguinte problema elíptico: { - 'DELTA' = f(x, u), em 'OMEGA' u = 0, sobre '\PARTIAL' 'OMEGA', onde 'OMEGA' é um conjunto limitado de 'R POT. 2' com fronteira suave e a função f possui crescimento exponencial. Para a existência de soluções são aplicados métodos variacionais combinados com as desigualdades de Trudinger-Moser. O resultado de não-existência é restrito ao caso de soluções radiais positivas e 'OMEGA' = 'B IND.1'(0). A prova usa técnicas de equações diferenciais ordinárias

In this work we study the existence, multiplicity and non-existence of non-trivial solutions to the following elliptic problem: { - 'DELTA' u = f(x; u); in 'OMEGA', ; u = 0; on '\PARTIAL' 'OMEGA' where "OMEGA' is a bounded and smooth domain in 'R POT. 2' and f possesses exponential growth. The existence results are proved by using variational methods and the Trudinger- Moser inequalities. The non-existence result is restricted to the case of positive radial solutions and 'OMEGA' = 'B IND. 1'(0). The proof uses techniques of the theory of ordinary differential equations.