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Dissertação de Mestrado
Documento
Autor
Nome completo
Junior Soares da Silva
Unidade da USP
Área do Conhecimento
Data de Defesa
Imprenta
São Carlos, 2017
Orientador
Banca examinadora
Mencattini, Igor (Presidente)
Manzoli Neto, Oziride
Santos, Edivaldo Lopes dos
Vendruscolo, Daniel
Título em português
Introdução à cohomologia de De Rham
Palavras-chave em português
Cohomologia de Cech
Cohomologia de DeRham
Cohomologia singular
Feixes
Teorema de De Rham
Teoria axiomática de feixes
Resumo em português
Começamos definindo a cohomologia clássica de De Rham e provamos alguns resultados que nos permitem calcular tal cohomologia de algumas variedades diferenciáveis. Com o intuito de provar o Teorema de De Rham, escolhemos fazer a demonstração utilizando a noção de feixes, que se mostra como uma generalização da ideia de cohomologia. Como a cohomologia de De Rham não é a única que se pode definir numa variedade, a questão da unicidade dá origem a teoria axiomática de feixes, que nos dará uma cohomologia para cada feixe dado. Mostraremos que a partir da teoria axiomática de feixes obtemos cohomologias, além das cohomologias clássicas de De Rham, a cohomologia clássica singular e a cohomologia clássica de Cech e mostraremos que essas cohomologias obtidas a partir da noção axiomática são isomorfas as definições clássicas. Concluiremos que se nos restringirmos a apenas variedades diferenciáveis, essas cohomologias são unicamente isomorfas e este será o teorema de De Rham.
Título em inglês
Introduction to De Rham Cohomology
Palavras-chave em inglês
Axiomatic sheaf theory
Cech cohomology
De Rham cohomology
De Rham theorem
Sheaves
Singular cohomology
Resumo em inglês
We begin by defining De Rhams classical cohomology and we prove some results that allow us a calculation of the cohomology of some differentiable manifolds. In order to prove De Rhams Theorem, we chose to make a demonstration using a notion of sheaves, which is a generalization of the idea of cohomology. Since De Rhams cohomology is not a only one that can be made into a variety, the question of unicity gives rise to axiomatic theory of sheaves, which give us a cohomology for each sheaf given. We will show that from the axiomatic theory of sheaves we obtain cohomologies, besides the classical cohomologies of De Rham, a singular classical cohomology and a classical cohomology of Cech and we will show that cohomologies are obtained from the axiomatic notion are classic definitions. We will conclude that if we restrict ourselves to only differentiable manifolds, these cohomologies are uniquely isomorphic and this will be De Rhams theorem.
 
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Data de Publicação
2017-11-16
 
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