Seja p um primo, considere q = p^e com e ≥ 1 inteiro. Dado o polinômio f (x) = x⁴+ax³+bx²+ cx+d ∈ F_q[x], consideremos o polinômio F(T) = T⁴ +aT³ +bT² +cT + d - y ∈ F_q(y)[T], com y = f (x) sobre F_q(y). O objetivo desse trabalho é determinar o número de polinômios f (x) que tem seu grupo de galois associado G_F isomorfo a cada subgrupo transitivo (prefixado) de S₄. O trabalho foi baseado no artigo: Galois closures of quartic sub-fields of rational function fields, usando equações auxiliares associadas ao polinômio minimal F(T) de graus 3 e 2 (DUMMIT, 1994); bem como uma caraterização das curvas projetivas planas de grau 2 não singulares. Se car(k) ≠ 2, associamos a F(T) sua cúbica resolvente R_F(T) e seu discriminante Δ_F. Em seguida obtemos condições para G_F ≅ C₄ (vide Teorema 2.9), que é ocaso fundamental para determinação dos demais casos. Se car(k) = 2, procuramos determinar condições para G_RF ≅ A₃, associando ao polinômio R_F(T) sua quadrática resolvente P(T) (vide a Proposição 2.13). Apos ter homogeneizado P(T), usamos uma das consequências do teorema de Bézout, a saber, uma curva algébrica projetiva plana C de grau 2 é irredutível se, e somente se, C não tem pontos singulares. Nesta dissertação obtemos resultados semelhantes com uma abordagem relativamente diferente daquela usada pelo autor R. Valentini.

Let be p a prime, q = p^e whit e ≥ 1 integer. Let a polynomial f (x) = x⁴+ax³+bx²+cx+d ∈ F_q[x], considering the polynomial F(T)=T⁴+aT³+bT2+cT +d, with y= f (x) over F_q(y)[T]. The purpose of the current research is to determine the numbers of polynomials f (x) which have its associated Galois group G_F, this G_F is isomorphic for each transitive subgroup (prefixed) of A₄. This project is based on the article: Galois closures of quartic sub-fields of rational function fields, using auxiliary equations associated to the minimal polynomial F(T) of degrees 3 and 2 (DUMMIT, 1994); besides a characterization of non-singular projective plane curves of degree 2 was used. If car(k) ≠ 2, associated to F(T) the resolvent cubic R_F(T) and its discriminant Δ_F then conditions for G_F are obtained as G_F ≅ C₄ which is the fundamental case for determining the other cases (Theorem 2.9). If car(k) = 2, to find conditions for G_RF ≅ A₃, associated to the polynomial R_F(T) its resolvent quadratic p(T) (Proposition 2.13). Homogenizing p(T), one of the consequences of the Bezout theorem was applied. It is, a projective plane curve C, which grade 2, is irreducible if and only if C is smooth. In the current dissertation, similar results were obtained using a different approach developed by the author R. Valentini.