Neste trabalho estudamos alguns resultados importantes sobre a teoria das subvariedades bi-harmônicas de espaços homogêneos tridimensionais. Existem três classes de espaços homogêneos tridimensionais simplesmente conexos dependendo da dimensão do grupo de isometrias, que pode ser: 3, 4 ou 6. No caso da dimensão ser 6, M é uma forma espacial; se a dimensão do grupo de isometrias for 4, M é isométrica a: 'H IND. 3' (grupo de Heisenberg), SU(2) (grupo unitário especial), ~SL(2,R) (revestimento universal do grupo linear especial), ou aos espaços produtos 'S POT. 2' × R e 'H POT. 2' × R. Feita exceção para 'H POT. 3', no caso da dimensão ser 4 ou 6 o espaço homogêneo é localmente isométrico a (uma parte de) 'R POT. 3', munido de uma métrica que depende de dois parâmetros reais. Tal família de métricas aparece primeiramente no trabalho [3] de L. Bianchi e, mais tarde, nos artigos [14, 35] de É. Cartan e G. Vranceanu, respectivamente. Nesse projeto de mestrado, queremos estudar (essencialmente) resultados de existência e classificação de subvariedades bi-harmônicas nesses espaços, também conhecidos como variedades de Bianchi-Cartan-Vranceanu

In this work we study some important results about the theory of the biharmonic submanifolds of tridimensional homogeneous spaces. There exist three classes of simply connected tridimensional homogeneous spaces depending on the dimension of the group of isometries, which can be: 3, 4 or 6. In the case of dimension 6, M will be a space form; if the dimension of the group of isometries is 4, M will be isometric to: either 'H IND. 3' (Heisenbergs group), or SU(2) (special unitary group), or ~SL(2,R) (universal recovering of the special linear group), or the product spaces 'S POT. 2' × R and 'H POT. 2' × R. Except for 'H POT. 3', in the case of dimension 4 or 6 the homogeneous space is locally isometric to (a part of) 'R POT. 3', endowed with a metric that depends on two real parameters. Such family of metrics first appears in the work [3] of L. Bianchi and later in the articles [14, 35] of ´E. Cartan and G. Vranceanu, respectively. In this master thesis, we want to study (essentially) results of existence and classification of bi-harmonic submanifolds in these spaces, also known as Bianchi-Cartan-Vranceanus manifolds