Quando um grupo de Lie nilpotente age sem pontos fixos sobre uma superfície compacta M, a característica de Euler X(M) de M é zero [11]. Isso sugere a possibilidade de um teorema tipo Poincaré-Hopf para ações destes grupos em variedades compactas. J.F.Plante em seu artigo "Elementary Zeros of Lie Algebras of Vector Fields" , [12], obtém urna caracterização dos zeros elementares dessas álgebras em dois casos: quando g é nilpotente e quando g é semi-simples. Ele também mostra que para uma álgebra de Lie abeliana g de campos de vetores de uma superfície compacta, tal que todo zero de g é elementar, existe um subconjunto S ⊂ g tal que g — S tem medida nula e para todo X ∈ S valem: (a) O conjunto de zeros isolados de X coincide com o conjunto (finito) de zeros de g; (b) Se p₁,..., p_k são os zeros de g então ∑^k₁=1 índice (X, p_i ) = x (M) . Baseado neste teorema e em um exemplo, ele mostra que não é possivel definir o índice de g em um zero isolado p como o índice de um zero de um elemento genérico X ∈ S em p. Embora ele não diga, o leitor fica com a impressão que um teorema do tipo Poincaré-Hopf, como mencionado no começo, não parece existir. Nesta dissertação faço uma exposição detalhada do artigo de J.F.Plante ilustrando com exemplos os teoremas do artigo.

When a nilpotent Lie group acts without fixed points on a compact swface M, the Euler characteristic X(M) of (M) of M vanishes [11]. This suggests the possibility of a Poincaré-Hopf type theorem for actions of these groups on compact manifolds. J.F.Plante in his paper " Elementary Zeros of Lie Algebras of Vector Field,s" , [12] charactenze the elementary zeros of these algebras in two cases: when g is nilpotent and when g is semi-simple. He also shows that for a abelian Lie aþbra g of vector fields of a compact surface such that every zero of g is elementary, there exists a set S ⊂ g such that g — S has measure zero and for X ∈ S: (a) The set of isolated zeros of X coincides with the (finite) zero set of g; (b) If p₁,...,p_k are the zeros of g then ∑^k_i=1, index (X, p_i) : X(M) . Based on this last theorem and one example, he shows that it is not possible to define the index of g at an isolated zeto p as the index of a generic element X ∈ S at p. Although he does not say it, the readers get the impression that a Poincaré-Hopf type theorem, as mentioned at the beginning, does not exist. Ln this dissertation I detail Plante' paper illustrating it with several examples.