Neste trabalho, tivemos como objetivo estudar a existência de soluções fracas não triviais para o problema elíptico com não linearidade crítica { - Δu = λu + u^{2* - 1}₊ + g(x, u₊) + f(x); em Ω u = 0; sobre ∂ Ω , (P) onde Ω é um domínio limitado com fronteira suave em ℝ^N, com N ≥ 3, 2* = 2N / (N - 2) é o expoente crítico de Sobolev, u₊ = max(u; 0), g ∈ C(Ω̄ x ℝ, ℝ⁺), λ > λ₁, λ ∉ σ (- Δ) e f ∈ L^r> (Ω), com r > N. Com o intuito de observar as mudanças que ocorrem do caso subcrítico para o crítico e as diferentes técnicas variacionais para a resolução de problemas elípticos, estudamos, inicialmente, um problema um pouco mais antigo que (P), que, por sua vez, motivou seu estudo. Tal problema é { - Δu = λ u + u^p₊ +f; em Ω u = 0; sobre ∂ Ω(P') onde consideramos o caso subcrítico, ou seja, quando p ∈ (1; 2* - 1). Com o auxílio do TEOREMA DE ENLACE verificamos que tanto (P) quanto (P') têm pelo menos duas soluções fracas não triviais.

In this work, we aimed to study the existence of nontrivial weak solutions for the elliptic problem with critical non-linearity { - Δu = λu + u^{2* - 1}₊ + g(x, u₊) + f(x); in Ω u = 0; on ∂ Ω , (P) where Ω is a bounded domain with smooth boundary in ℝ^N, with N ≥ 3, 2* = 2N / N -2 is the critical Sobolev exponent, u₊ = max(u; 0), g ∈ C(Ω̄ x ℝ, ℝ⁺), λ > λ₁, λ ∉ σ (- Δ) and f ∈ L^r (Ω), with r > N. In order to observe different variational techniques for solving elliptic problems, we studied initially a problem a little older than (P), which, in turn, led to its study. This problem is { - Δu = λ u + u^p₊ +f; inΩ u = 0; on ∂ Ω(P') where we consider the subcritical case, that is, when p ∈ (1, 2* - 1). With the aid of the LINKING THEOREM we see that both (P) and (P') have at least two nontrivial weak solutions.