Método da média para equações diferenciais funcionais retardadas impulsivas via equações diferenciais generalizadas

Godoy, Jaqueline Bezerra

doi:10.11606/D.55.2009.tde-10052010-085321

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Master's Dissertation

DOI

https://doi.org/10.11606/D.55.2009.tde-10052010-085321

Document

Master's Dissertation

Author

Godoy, Jaqueline Bezerra (Catálogo USP)

Full name

Jaqueline Bezerra Godoy

E-mail

Institute/School/College

Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação

Knowledge Area

Mathematics

Date of Defense

2009-08-24

Published

São Carlos, 2009

Supervisor

Federson, Márcia Cristina Anderson Braz (Catálogo USP)

Committee

Godoy, Sandra Maria Semensato de (President)
Barbanti, Luciano
Marconato, Suzinei Aparecida Siqueira

Title in Portuguese

Método da média para equações diferenciais funcionais retardadas impulsivas via equações diferenciais generalizadas

Keywords in Portuguese

Equações diferenciais funcionais retardadas
Equações diferenciais generalizadas
Equações diferenciais impulsivas
Método da média

Abstract in Portuguese

Neste trabalho, nós consideramos o seguinte problema de valor inicial para uma equação diferencial funcional retardada com impulsos { 'x PONTO' = 'varepsilon' f (t, 'x IND.t'), t ' DIFERENTE' 't IND. k', 'DELTA' x('t IND. k') = 'varepsilon' ' I IND. k' (x ( 't IND.k')), k = 0, 1, 2, ... 'x IND. t IND.0' = ' phi', onde f está definida em um aberto ' OMEGA' de R x ' G POT. -' ([- r, 0], ' R POT. n') e assume valores em 'R POT. n', ' 'varepsilon' 'G POT. - ([ - r, 0], 'R POT.n'), r .0, onde ' G POT -' ([ - r, 0], ' R POT. n') denota o espaço das funções de [ - r, 0] em ' R POT. n' que estão regradas e contínuas à esquerda. Além disso, ' t IND.0 < ' t IND. 1'< ... 't IND. k' < ... são momentos pré determinados de impulsos tais que 'lim SOBRE k SETA + ' INFINITO' 't IND. k = + ' INFINITO' e 'DELTA'x (' t IND.k') = x ( 't POT. + IND > k) - x ('t IND. k). Os operadores de impulso ' I IND. k', k = 0, 1, ... são funções contínuas de 'R POT. n' em ' R POT. n'. Consideramos, também, que para cada x 'varepsilon' ' G POT. -' ([- r, ' INFINITO'), 'R POT. n'), t 'SETA' f (t, 'x IND. t') é uma função localmente Lebesgue integrável e sua integral indefinida satisfaz uma condição do tipo Carathéodory. Além disso, f é Lipschitziana na segunda variável. Definimos ' f IND. 0' ( 'phi') = ' lim SOBRE T ' SETA' ' INFINITO' '1 SUP. T ' INT. SUP. T INF. ' T IND.0' f (t, ' PSI') dt e ' I IND. 0(x) = ' lim SOBRE T 'SETA' ' INFINITO' ' 1 SUP. T' ' SIGMA' IND. 0 < ou = ' t IND. i' < T onde ' psi' 'varepsilon' ' G POT. -' ([ - r, 0], ' R POT. n', e consideremos a seguinte equação diferencial funcioonal autônoma " média" y PONTO = ' varepsilon' [ ' f IND. 0' (' y IND. t' + ' I IND> 0' (y (t))], 'y IND. t IND. 0 = ' phi'. Então provamos que, sob certas condições, a solução x(t) de (1) se aproxima da solução y(t) de (2) em tempo assintoticamente grande

Title in English

Averaging method for retarded functional differential equations with impulses by generalized ordinary differential equations

Keywords in English

Averaging
Generalized ordinary differential equations
Impulsive differential equations
Retardedf functional differential equations

Abstract in English

In this present work, we condider the following initial value problem for a retarded functional differential equation with impulses { 'x POINT' = 'varepsilon' f (t, 'x IND.t'), t ' DIFFERENT' 't IND. k', 'DELTA' x('t IND. k') = 'varepsilon' ' I IND. k' (x ( 't IND.k')), k = 0, 1, 2, ... 'x IND. t IND.0' = ' phi', where f está defined in a open set ' OMEGA' de R x ' G POT. -' ([- r, 0], ' R POT. n'), r >0, and takes values in 'R POT. n', ' 'varepsilon' 'G POT. - ([ - r, 0], 'R POT.n'), r .0, where ' G POT -' ([ - r, 0], ' R POT. n') denotes the space of regulated functions from [ - r, 0] to ' R POT. n' which are left continuous. Furthermore, ' t IND.0 < ' t IND. 1'< ... 't IND. k' < ... are pre-assigned moments of impulse effects such that 'lim ON k ARROW + ' THE INFINITE' 't IND. k = + ' THE INFINITE' e 'DELTA'x (' t IND.k') = x ( 't POT. + IND>k) - x ('t IND. k). The impulse operators ' I IND. k', k = 0, 1, ... are continuous mappings from 'R POT. n' to ' R POT. n'. For each x 'varepsilon' ' G POT. -' ([- r, ' THE INFINITE'), 'R POT. n'), t 'ARROW' f (t, 'x IND. t') is locally Lebesgue integrable and its indefinite integral satisfies a Carathéodory. Moreover, f é Lipschitzian with respect to the second variable. We define ' f IND. 0' ( 'phi') = ' lim ON T ' ARROW' ' THE INFINITE' '1 SUP. T ' INT. SUP. T INF. ' T IND.0' f (t, ' PSI') dt and ' I IND. 0(x) = ' lim ON T 'ARROW' ' THE INFINITE' ' 1 SUP. T' ' SIGMA' IND. 0 < or = ' t IND. i' < T where ' psi' 'varepsilon' ' G POT. -' ([ - r, 0], ' R POT. n', and consider the "averaged" autonomous functional differential equation 'y PONTO = ' varepsilon' [ ' f IND. 0' (' y IND. t' + ' I IND> 0' (y (t))], 'y IND. t IND. 0 = ' phi'. Then we prove that, under certain conditions, the solution x(t) of (1) in aproximates the solution y(t) de (2) in an asymptotically large time interval

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Publishing Date

2010-05-12

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FEDERSON, M., and MESQUITA, J.G.. Averaging for retarded functional differential equations [doi:10.1016/j.jmaa.2011.04.034]. Journal of Mathematical Analysis and Applications [online], 2011, vol. 382, n. 1, p. 77-85.