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Dissertação de Mestrado
DOI
10.11606/D.55.2012.tde-05122012-144434
Documento
Autor
Nome completo
Jackson Itikawa
E-mail
Unidade da USP
Área do Conhecimento
Data de Defesa
Imprenta
São Carlos, 2012
Orientador
Banca examinadora
Oliveira, Regilene Delazari dos Santos (Presidente)
Martins, Ricardo Miranda
Mello, Luis Fernando de Osório
Título em português
O problema do centro-foco para singularidades nilpotentes no plano
Palavras-chave em português
Constantes de Lyapunov
Monodromia
Problema do centro-foco
Singularidades nilpotentes
Resumo em português
O estudo dos pontos singulares em campos vetoriais analíticos é um problema quase completamente resolvido. O único caso que ainda permanece insolúvel é o caso monodrômico, em que as órbitas circundam a singularidade. Em sistemas diferenciais analíticos, se p é singularidade monodrômica, então p ou é um centro, ou é um foco. O problema do centro-foco consiste em determinar condições que diferenciem os casos em que p é um foco, daqueles em que p é um centro. O tema central desta dissertação é a investigação do problema do centro-foco em sistemas diferenciais analíticos com singularidade nilpotente. Este problema é bastante estudado, uma vez que ainda não existe um algoritmo eficiente para este caso, tal como ocorre em sistemas com singularidades não degeneradas. Estudamos duas técnicas bastante distintas. A primeira faz uso da teoria das formas normais e aborda o problema da maneira clássica, dividindo-o na investigação da monodromia e no estudo da estabilidade. O outro método investiga os sistemas diferenciais com singularidades nilpotentes como limite de sistemas com singularidades não degeneradas. A fim de avaliarmos sua eficiência e compreendermos as possíveis obstruções envolvidas, aplicamos os métodos a famílias concretas de sistemas diferenciais
Título em inglês
The center focus problem for planar nilpotent singularities
Palavras-chave em inglês
Center focus problem
Lyapunovg constants
Monodromy
Nilpotent singularities
Resumo em inglês
The study of singular points in planar analytic vector fields is a problem almost completely solved. The only case that remains open is the monodromic one, in which the orbits turn around the singularity. In analytic differential systems, if p is a monodromic singular point, then p is either a center or a focus. The center-focus problem consists in determining conditions for distinguishing between a center and a focus. The main purpose of this work is the investigation of the center-focus problem in analytic differential systems with nilpotent singular points. This problem is still widely studied, since there is no algorithm for such case, comparable to the Lyapunov method for the case of non-degenerate singularities. We studied two different methods. The first makes use of the normal form theory and deals with the problem in the classic way, splitting it up in two parts: the investigation of the monodromy and the study of the stability. The latter investigates the differential analytic systems with nilpotent singular points as limit of differential systems with nondegenerate singularities. In order to evaluate the efficiency and understand possible obstructions, we applied the two techniques to concrete families of differential systems
 
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jacksondefesa.pdf (1.99 Mbytes)
Data de Publicação
2012-12-05
 
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