Nesta tese estudamos a geometria extrínseca de superfícies suave em R⁴ via seu contato com retas e hiperplanos. Uribe-Vargas introduziu um cr-invariante (crossratio) em uma cúspide de Gauss de uma superfície em R³. Para uma superfície em R⁴, o ponto P₃(c) tem comportamento similar a uma cúspide de Gauss de uma superfície em R³. Estabelecemos nesta tese cross-ratio invariantes para superfícies em R⁴ de uma maneira análoga ao trabalho de Uribe-Vargas para superfícies em R³. Estudamos os lugares geométricos das singularidades locais e multi-locais das projeções ortogonais da superfície e classificamos os k-jatos de parametrizações de germes de superfícies no espaço projetivo P⁴ dadas na forma de Monge por mudanças projetivas. Os cross-ratio invariantes nos pontos P₃(c) são usadas para recuperar os dois módulos no 4-jato da parametrização projetiva da superfície.

In this thesis we study the extrinsic geometry of smooth surfaces in R⁴ via their contact with lines and hyperplanes. Uribe-Vargas introduced a cr-invariant (crossratio) at a cusp of Gauss of a surface in R³. For a surface in R⁴, the point P₃(c) has similar behavior to that of a cusp of Gauss of a surface in R³. We establish in this thesis cross-ratio invariants for surfaces in R⁴ in an analogous way to Uribe- Vargass work for surfaces in R³. We study the geometric locii of local and multilocal singularities of ortogonal projections of the surface and classify the k-jets of parametrizations of germs of surfaces in the projection space P⁴ given in Monge form by projective transformations. The cross-ratio invariants at P₃(c) points are used to recover two moduli in the 4-jet of the projective parametrization of the surfaces.