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Dissertação de Mestrado
DOI
10.11606/D.45.2007.tde-24072007-163914
Documento
Autor
Nome completo
Pablo Martin Rodriguez
E-mail
Unidade da USP
Área do Conhecimento
Data de Defesa
Imprenta
São Paulo, 2007
Orientador
Banca examinadora
Lebensztayn, Élcio (Presidente)
Machado, Fabio Prates
Mitrowsky, Rafael Andres Rosales
Título em português
Transição de fase para um modelo de percolação de discos em grafos
Palavras-chave em português
modelo epidêmico
parâmetro crítico
percolação
transição de fase
Resumo em português
Associamos independentemente a cada vértice v de un grafo infinito G um raio de infecção aleatório R_v e definimos um modelo de percolação sujeito às seguintes regras: (1) no tempo zero só a raiz é declarada infectada, (2) um vértice é declarado infectado em um instante t, t>0, se está a uma distância no maximo R_v de algum vértice v previamente infectado, e (3) vértices infectados permanecem infectados para sempre. Dizemos que há sobrevivência em uma realização particular do modelo se o número final de vértices infectados é infinito. Neste trabalho damos condições suficientes sobre o grafo G para a transição de fase deste modelo, estabelecendo limitantes não triviais para o parâmetro crítico quando os raios R_v têm distribuição geometrica de parâmetro 1-p. Além disto, restringindo nosso estudo para o caso das árvores esfericamente simétricas, obtemos um melhor limitante superior para este parâmetro. Finalmente, concluímos que o parâmetro crítico para o modelo nas árvores homogêneas de grau d+1 se comporta assintoticamente como 1/(2d).
Título em inglês
Phase transition for a disk percolation model on graphs
Palavras-chave em inglês
critical parameter
epidemic model
percolation
phase transition
Resumo em inglês
We assign independently to each vertex v of an infinite graph G, a random radius of infection R_v and define a percolation model subject to the following rules: (1) at time zero, only the root is declared infected, (2) a vertex is declared infected at time t, t>0, if it is at distance at most R_v of some vertex v previously infected, and (3) infected vertices stay infected forever. We say that there is survival in a particular realization of the model if the final number of infected vertices is infinite. In this work, we give sufficient conditions on the graph G for the phase transition of this model, by stating non-trivial bounds for the critical parameter when the radii have geometrical distribution with parameter 1-p. In addition, restricting our study to the case of the spherically symmetric trees, we obtain an improved upper bound for this critical parameter. Finally, we conclude that the critical parameter for the model on homogeneous trees of degree (d+1) behaves asymptotically as 1/(2d).
 
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modelo.pdf (264.88 Kbytes)
Data de Publicação
2007-09-13
 
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  • LEBENSZTAYN, E, and RODRIGUEZ, P. The disk-percolation model on graphs [doi:10.1016/j.spl.2008.02.001]. Statistics & Probability Letters [online], 2008, vol. 78, n. 14, p. 2130-2136.
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