O presente trabalho é um esforço de apresentar, organizado em forma de survey, um conjunto de resultados que ilustram a aplicação de um certo método probabilístico. Embora não apresentemos resultados novos na área, acreditamos que a apresentação sistemática destes resultados pode servir para a compreensão de uma ferramenta útil para quem usa dos métodos probabilísticos na sua pesquisa em combinatória. Os resultados de que falaremos tem aparecido na última década na literatura especializada e foram usados na investigação de problemas que resitiram a outras aproximações mais clássicas. Em vez de teorizar sobre o método a apresentar, nós adotaremos a estratégia de apresentar três problemas, usando-os como exemplos práticos da aplicação do método em questão. Surpeendentemente, apesar da dificuldade que apresentaram para ser resolvidos, estes problemas compartilham a caraterística de poder ser formulados muito intuitivamente, como veremos no Capítulo 1. Devemos advertir que embora os problemas que conduzem nossa exposição pertençam a áreas tão diferentes quanto teoria de números, geometria e combinatória, nosso intuito é fazer énfase no que de comum tem as suas soluções e não das posteriores implicações que estes problemas tenham nas suas respectivas áreas. Ocasionalmente comentaremos sim, outras possíveis aplicações das ferramentas usadas para solucionar estes problemas de motivação. Os problemas de que trataremos tem-se caracterizado por aguardar várias décadas em espera de solução: O primeiro, da teoria de números, surgiu na pesquisa de séries de Fourier que Sidon realizava a princípios de século e foi proposto por ele a Erdös em 1932. Embora tenham havido, desde 1950, diversos avanços na pesquisa deste problema, o resultado de que falaremos data de 1981. Já o segundo problema, da geometria, é uma conjectura formulada em 1951 por Heilbronn e refutada finalmente em 1982. O último problema, de combinatória, é uma conjectura de Erdös e Hanani de 1963, que foi tratada em diversos casos particulares até ser finalmente resolvida em toda sua generalidade em 1985.

The following work is an effort to present, in survey form, a collection of results that illustrate the application of a certain probabilistic method in combinatorics. We do not present new results in the area; however, we do believe that the systematic presentation of these results can help those who use probabilistic methods comprenhend this useful technique. The results we refer to have appeared over the last decade in the research literature and were used in the investigation of problems which have resisted other, more classical, approaches. Instead of theorizing about the method, we adopted the strategy of presenting three problems, using them as practical examples of the application of the method in question. Surpisingly, despite the difficulty of solutions to these problems, they share the characteristic of being able to be formulated very intuitively, as we will see in Chapter One. We should warn the reader that despite the fact that the problems which drive our discussion belong to such different fields as number theory, geometry and combinatorics, our goal is to place emphasis on what their solutions have in common and not on the subsequent implications that these problems have in their respective fields. Occasionally, we will comment on other potential applications of the tools utilized to solve these problems. The problems which we are discussing can be characterized by the decades-long wait for their solution: the first, from number theory, arose from the research in Fourier series conducted by Sidon at the beginning of the century and was proposed by him to Erdös in 1932. Since 1950, there have been diverse advances in the understanding of this problem, but the result we talk of comes from 1981. The second problem, from geometry, is a conjecture formulated in 1951 by Heilbronn and finally refuted in 1982. The last problem, from combinatorics, is a conjecture formulated by Erdös and Hanani in 1963 that was treated in several particular cases but was only solved in its entirety in 1985.