Esta tese estuda a geometria de problemas variacionais através da linearização e projetivização das suas equações de Euler - Lagrange. O processo de linearização fornece a passagem das equações de Euler - Lagrange para as equações de Jacobi; a minimalidade (local) de extremais está determinada pelo conceito de ponto conjugado, que tem natureza projetiva. Propriedades de minimalidade local são transformadas em propriedades de auto-interseção de uma curva na variedade de Grassmann adequada. Desenvolvemos este processo em duas aplicações: 1) O estudo da minimalidade local de extremais de problemas variacionais de ordem superior. Neste caso, encontramos uma curva não degenerada de planos isotrópicos num espaço vetorial simplético, que, após prolongamento por derivadas, fornece uma curva degenerada de planos Lagrangeanos cujas auto-interseções determinam a minimalidade. 2) No caso mais clássico de problemas de ordem um, estudamos a versão linear - projetiva do problema inverso: dada uma equação diferencial de ordem dois, quando ela é a equação de Euler - Lagrange de um problema variacional? Veremos que as condições do problema inverso linear - projetivo fornecem informações sobre os possíveis Lagrangianos, por exemplo a assinatura.

In this work we study the geometry of high order calculus of variations through the linearization and projectivization of their Euler Lagrange equations. The linearization process provides the passage from the Euler Lagrange equations to the Jacobi equations; the (local) minimality properties of the extremal is determined by conjugate points, which is a projective concept. Minimaltiy properties of the extremals are transformed into self-intersection propertie of curves in the appropriate Grassmann manifold. We develop this process in two instances: 1) The study of minimality properties of extremals of higher-order variational problems. In this case, we find a non-degenerate curve of isotropic subspaces, that, after prolongation by derivatives, gives a degenerate curve of Lagrangian planes whose self-intersections determine minimality. 2) In the classical case of order one variational problems, we study a projective-linear version of the inverse problem: given a second order differential equation, when is it the Euler-Lagrange equation of a variational problem? We will see that the conditions given by the linear projective inverse problem provides information about the possible Lagrangians, for example, its signature.