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Dissertação de Mestrado
DOI
10.11606/D.45.2018.tde-27062018-130056
Documento
Autor
Nome completo
Michel Fernandes Gaspar
Unidade da USP
Área do Conhecimento
Data de Defesa
Imprenta
São Paulo, 2018
Orientador
Banca examinadora
Fajardo, Rogerio Augusto dos Santos (Presidente)
Aurichi, Leandro Fiorini
Boero, Ana Carolina
Título em português
Forcing e regularidade na reta real
Palavras-chave em português
Forcing
Forcing idealizado
Hierarquia projetiva
Regularidade na reta real
Resumo em português
O estudo das propriedades de regularidade na reta real é tão antigo quanto o surgimento da teoria dos conjuntos no final do século XIX. Essas propriedades indicam bom comportamento para subconjuntos da reta real, sendo os exemplos mais proeminentes a propriedade do conjunto perfeito, a Lebesgue mensurabilidade e a Baire mensurabilidade. Neste trabalho outras propriedades de regularidade são exploradas, como a propriedade de Ramsey, a propriedade doughnut, a Marczewski mensurabilidade, a Miller mensurabilidade, a Laver mensurabilidade, dentre outras. A relação que existe entre propriedades de regularidade e forcing é conhecida desde a década de 70 com os trabalhos de Robert Solovay, que, por exemplo, construiu um modelo de teoria dos conjuntos onde todo subconjunto da reta real é Lebesgue mensurável, Baire mensurável e tem a propriedade do conjunto perfeito. Todas essas propriedades de regularidade são capturadas em uma definição geral recorrendo à poderosa técnica do \textit{forcing idealizado}, introduzida e explorada por Jindrich Zapletal em 2004. O principal estudo sistemático das propriedades de regularidade via forcing idealizado foi feito por Yurii Khomskii em 2012 em sua tese de doutorado. O resultado de Solovay mencionado acima é provado nesse contexto geral de regularidade. Também são exploradas caracterizações para a regularidade dos conjuntos no segundo nível da hierarquia projetiva via forcing sobre L. Para a maioria dos assuntos abordados é dada alguma nota histórica.
Título em inglês
Forcing and regularity in the real line
Palavras-chave em inglês
Forcing
Idealized forcing
Projective hierarchy
Regularity in the real line
Resumo em inglês
The study of the regularity properties in the real line is as old as the beginning of set theory at the end of the 19th century. These properties indicate well behavior for subsets of the real line, being the Lebesgue measurability, Baire measurability and perfect set properties the most prominent examples. In this work other regularity properties are explored, such as the Ramsey property, the doughnut property, the Marczewski measurability, the Miller measurability, the Laver measurability, among others. The relationship between regularity properties and forcing is known since the 70's with the work of Robert Solovay, who, for example, constructed a model of set theory in which every subset of the real line is Lebesgue measurable, Baire measurable, and has the perfect set property. All of theses regularity properties are captured by a general definition making use of the powerful technique of \textit{idealized forcing}, introduced by Jindrich Zapletal in 2008. The main systematic study of regularity properties via idealized forcing was done by Yurii Khomskii in 2012 in his Ph.D dissertation. The result of Solovay mentioned above is proved in this general framework. Characterization results for regularity properties of the sets in the second level of the projective hierarchy via forcing over L are also explored. Some historical notes are provided for most of the addressed subjects.
 
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Data de Publicação
2018-11-23
 
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