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Doctoral Thesis
DOI
https://doi.org/10.11606/T.45.2019.tde-24092019-165314
Document
Author
Full name
Darllan Conceição Pinto
E-mail
Institute/School/College
Knowledge Area
Date of Defense
Published
São Paulo, 2016
Supervisor
Committee
Mariano, Hugo Luiz (President)
Bianconi, Ricardo
Brunner, Andreas Bernhard Michael
Coniglio, Marcelo Esteban
Freire, Rodrigo de Alvarenga
Title in Portuguese
Uma fundamentação categorial para uma teoria de representação de lógicas
Keywords in Portuguese
Lógicas algébricas abstratas
Lógicas algebrizáveis
Teoria das categorias
Abstract in Portuguese
Neste trabalho estabelecemos uma base teórica para a construção de uma teoria de rep- resentação de lógicas proposicionais. Iniciamos identificando uma relação precisa entre a categoria das lógicas (Blok-Pigozzi) algebrizáveis e a categoria de suas classes de álgebras associadas. Assim obtemos codificações funtoriais para as equipolências e morfismos den- sos entre lógicas. Na tentativa de generalizar os resultados obtidos sobre a codificação dos morfismos entre lógicas algebrizáveis, introduzimos a noção de funtor filtro e sua lógica asso- ciada. Classificamos alguns tipos especiais de lógicas e um estudo da propriedade metalógica de interpolação de Craig via amalgamação em matrizes para lógicas não-protoalgebrizáveis, e estabelecemos a relação entre a categoria dos funtores filtros e a categoria de lógicas. Em seguida, empregamos noções da teoria das instituições para definir instituições para as lógicas proposicionais abstratas, para uma lógica algebrizável e para uma lógica Lindenbaum alge- brizável. Sobre a instituição das lógicas algebrizáveis (lógicas Lindenbaum algebrizáveis), estabelecemos uma versão abstrata do Teorema de Glivenko e que é exatamente o tradi- cional teorema de Glivenko quando aplicado entre a lógica clássica e intuicionista. Por fim, influenciado pela teoria de representação para anéis, apresentamos os primeiros passos da teoria de representação de lógicas. Introduzimos as definições de diagramas modelos à esquerda para uma lógica, Morita equivalência e Morita equivalência estável para lógicas. Mostramos que quaisquer representações para lógica clássica são estavelmente Morita equiv- alentes, entretanto a lógica clássica e intuicionista não são estavelmente Morita equivalentes.
Title in English
A categorial foundation for a representation theory of logics
Keywords in English
Abstract algebraic logic
Algebraizable logic
Category theory
Abstract in English
In this work we provide a framework in order to build a representation theory of proposi- tional logics. We begin identifying a precise relation between the category of (Blok-Pigozzi) algebraizable logic and the category of their classes of associated algebras. Then, we have a functorial codification for the equipollence and dense morphisms between logics. Attempt- ing generalize the results found before about codification of morphisms among algebraizable logics, we introduce the notion of filter functor and its associated logic. We classify some special kinds of logics and a study of a meta-logical Craig interpolation property via matri- ces amalgamation for non-protoalgebraizable logics, and we establish a relation between the category of filter functors and the category of logics. In the sequel, we employ notions of institution theory to define the institutions for the abstract propositional logics, for an al- gebraizable logic and Lindenbaum algebraizable logic. On the institutions for algebraizable logics (Lindenbaum algebraizable logics), we introduce the abstract Glivenkos theorem and this notion is exactly the traditional Glivenkos theorem when applied between the classical logic and intuitionistic logic. At last, influenced by the representation theory of rings, we present the first steps on the representation theory of logics. We introduce the definition of left diagram model for a logic, Morita equivalence of logics and stably-Morita equivalence for logics. We have showed that any presentation for classical logic are stably-Morita equivalent, but the classical logic and intuitionistic logic are not stably-Morita equivalent.
 
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Publishing Date
2019-09-25
 
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