Este trabalho tem dois objetivos principais. Primeiramente, analisamos a preservação de conexidade na extensão de espaços compactos por funções contínuas, técnica utilizada por Koszmider para obter $C(K)$ indecomponível com poucos operadores. Mostramos que para todo compacto metrizável $K$ existe um desconexo $L$ que é obtido a partir de $K$ por uma quantidade finita de extensões por funções contínuas. Em seguida, enfatizamos a construção de espaços de Banach da forma $C(K)$ com poucos operadores, com a propriedade de que $C(L)$ tem poucos operadores, para todo fechado $L \subseteq K$. Assumindo o princípio diamante construímos uma família $(K_\xi)_{\xi < 2^{(2^\omega)}}$ de espaços conexos e hereditariamente Koszmider tais que todo operador de $C(K_\xi)$ em $C(K_\eta)$ é fracamente compacto, para $\xi$ diferente de $\eta$. Em particular, $(C(K_\xi))_{\xi < 2^{(2^\omega)}}$ é uma família de espaços de Banach indecomponíveis e dois a dois essencialmente incomparáveis, e cada espaço $K_\xi$ responde positivamente ao problema de Efimov. Apresentamos também um método de construção via forcing de um espaço compacto e conexo $K$ hereditariamente fracamente Koszmider.

This work has two main objectives. First, we analyze the preservation of connectedness in the extension of compact spaces by continuous functions, a technique used by Koszmider to obtain an indecomposable Banach space $C(K)$ with few operators. We show that for any metrizable compactum $K$ there exists a disconnected $L$ which is obtained from $K$ by finitely many extensions by continuous functions. Next, we emphasize the construction of Banach spaces of the form $C(K)$ with the property that $C(L)$ has few operators, for every closed $L \subseteq K$. Assuming the diamond principle we construct a family $(K_\xi)_{\xi < 2^{(2^\omega)}}$ of connected and hereditarily Koszmider spaces such that every operator from $C(K_\xi)$ into $C(K_\eta)$ is weakly compact, for $\xi$ different from $\eta$. In particular, $(C(K_\xi))_{\xi < 2^{(2^\omega)}}$ is a family of indecomposable and pairwise essentially incomparable Banach spaces, and each space $K_\xi$ responds positively to the Efimov's problem. We also present a method of construction using forcing of a compact and connected hereditarily weakly Koszmider space $K$.