Para um espaço localmente compacto de Hausdorff K e um espaço de Banach X, denotamos por C₀(K,X) o espaço de todas as funções a valores em X contínuas sobre K que se anulam no infinito, munido da norma do supremo. No espírito do clássico teorema de Banach-Stone 1937, estabelecemos que se C₀(K₁,X) é isomorfo a C₀(K₂,X), onde X é um espaço de Banach de cotipo finito e tal que X é separável ou X^* tem a propriedade de Radon-Nikodým, então ou K₁ e K₂ são ambos finitos ou K₁ e K₂ tem a mesma cardinalidade. Trata-se de uma extensão vetorial de um resultado de Cengiz 1978, o caso escalar X = R ou X = C.

Demonstramos também que se K₁ e K₂ são intervalos compactos de ordinais e X é um espaço de Banach de cotipo finito, então a existência de um isomorfismo T de C(K₁,X) em C(K₂,X) com ||T||||T^-1|| < 3 implica que uma certa soma topológica finita de K₁ é homeomorfa a alguma soma topológica finita de K₂. Mais ainda, se Xⁿ não contém subespaço isomorfo a Xⁿ⁺¹ para todo n ∈ N, então K₁ é homeomorfo a K₂. Em outras palavras, obtemos um teorema tipo Banach-Stone vetorial que é uma extensão de um teorema de Gordon de 1970 e ao mesmo tempo uma extensão de um teorema de Behrends e Cambern de 1988. Mostramos que se existe um isomorfismo T de C(K₁) em um subespaço de C(K₂,X) com ||T||||T^-1|| < 3, então a cardinalidade do α-ésimo derivado de K₂ ou é finita ou é maior do que a cardinalidade do α-ésimo derivado de K₁, para todo ordinal α.

Em seguida, seja n um inteiro positivo, Γ um conjunto infinito munido da topologia discreta e X um espaço de Banach de cotipo finito. Estabelecemos que se o n-ésimo derivado de K for não vazio, então a distância de Banach-Mazur entre C₀(K,X) e C₀(Γ,X) é maior ou igual a 2n + 1. Também demonstramos que para quaisquer inteiros positivos n e k, a distância de Banach-Mazur entre C([1,ωⁿk],X) e C₀(N,X) é exatamente 2n+1. Estes resultados fornecem extensões vetoriais para alguns teoremas de Cambern de 1970.

Para um ordinal enumerável α, denotando por C(α) o espaço de Banach das funções contínuas no intervalo de ordinal [1, α], obtemos cotas superiores H(n, k) e cotas inferiores G(n, k) para as distâncias de Banach-Mazur entre os espaços C(ω) e C(ωⁿk), 1 < n, k < ω, verificando H(n, k) - G(n, k) < 2. Estas estimativas fornecem uma resposta para uma questão de Bessaga e Peczynski de 1960 sobre as distâncias de Banach-Mazur entre C(ω) e cada um dos espaços C(α), ω<α<ω^ω.

For a locally compact Hausdorff space K and a Banach space X, we denote by C₀(K,X) the space of X-valued continuous functions on K which vanish at infinity, endowed with the supremum norm. In the spirit of the classical 1937 Banach-Stone theorem, we prove that if C₀(K₁,X) is isomorphic to C₀(K₂,X), where X is a Banach space having finite cotype and such that X is separable or X^* has the Radon-Nikodým property, then either K₁ and K₂ are finite or K₁ and K₂ have the same cardinality. It is a vector-valued extension of a 1978 Cengiz result, the scalar case X = R or X = C.

We also prove that if K₁ and K₂ are compact ordinal spaces and X is Banach space having finite cotype, then the existence of an isomorphism T from C(K₁,X) onto C(K₂,X) with ||T||||T^-1|| < 3 implies that some finite topological sum of K₁ is homeomorphic to some finite topological sum of K₂. Moreover, if Xⁿ contains no subspace isomorphic to Xⁿ⁺¹ for every n ∈ N, then K₁ is homeomorphic to K₂. In other words, we obtain a vector-valued Banach-Stone theorem which is an extension of a 1970 Gordon theorem and at same time an improvement of a 1988 Behrends and Cambern theorem. We show that if there is an embedding T of a C(K₁) into C(K₂,X) with ||T||||T^-1|| < 3, then the cardinality of the α-th derivative of K₂ is either finite or greater than the cardinality of the α-th derivative of K₁, for every ordinal α.

Next, let n be a positive integer, Γ an infinite set with the discrete topology and X is a Banach space having finite cotype. We prove that if the n-th derivative of K is not empty, then the Banach Mazur distance between C₀(K,X) and C₀(Γ,X) is greater than or equal to 2n + 1. Thus, we also show that for every positive integers n and k, the Banach Mazur distance between C([1,ωⁿk],X) and C₀(N,X) is exactly 2n+1. These results provide vector-valued versions of some 1970 Cambern theorems.

For a countable ordinal α, writing C(α) for the Banach space of continuous functions on the interval of ordinal [1, α], we give lower bounds H(n, k) and upper bounds G(n, k) on the Banach- Mazur distances between C(ω) and C(ωⁿk), 1 < n, k < ω, such that H(n, k) - G(n, k) < 2. These estimates provide an answer to a 1960 Bessaga and Peczynski question on the Banach-Mazur distances between C(ω) and each of the C(α) spaces, ω<α<ω^ω.