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Tese de Doutorado
DOI
10.11606/T.45.2019.tde-02032019-143956
Documento
Autor
Nome completo
Dimi Rocha Rangel
E-mail
Unidade da USP
Área do Conhecimento
Data de Defesa
Imprenta
São Paulo, 2018
Orientador
Banca examinadora
Mariano, Hugo Luiz (Presidente)
Brunner, Andreas Bernhard Michael
Freire, Rodrigo de Alvarenga
Luciano, Odilon Otavio
Venturi, Giorgio
Título em inglês
An algebraic framework to a theory of sets based on the surreal numbers
Palavras-chave em inglês
Algebraic set theory
SUR-algebras
Surreal numbers
Resumo em inglês
The notion of surreal number was introduced by J.H. Conway in the mid 1970's: the surreal numbers constitute a linearly ordered (proper) class No containing the class of all ordinal numbers (On) that, working within the background set theory NBG, can be defined by a recursion on the class On. Since then, have appeared many constructions of this class and was isolated a full axiomatization of this notion that been subject of interest due to large number of interesting properties they have, including model-theoretic ones. Such constructions suggests strong connections between the class No of surreal numbers and the classes of all sets and all ordinal numbers. In an attempt to codify the universe of sets directly within the surreal number class, we have founded some clues that suggest that this class is not suitable for this purpose. The present work is an attempt to obtain an "algebraic (set) theory for surreal numbers" along the lines of the Algebraic Set Theory - a categorial set theory introduced in the 1990's: to establish abstract and general links between the class of all surreal numbers and a universe of "surreal sets" similar to the relations between the class of all ordinals (On) and the class of all sets (V), that also respects and expands the links between the linearly ordered class of all ordinals and of all surreal numbers. We have introduced the notion of (partial) surreal algebra (SUR-algebra) and we explore some of its category theoretic properties, including (relatively) free SUR-algebras (SA, ST). We have established links, in both directions, between SUR-algebras and ZF-algebras (the keystone of Algebraic Set Theory). We develop the first steps of a certain kind of set theory based (or ranked) on surreal numbers, that expands the relation between V and On.
Título em português
Um referencial algébrico para uma teoria de conjuntos baseada nos números surreais
Palavras-chave em português
Números surreais
SUR-álgebras
Teoria algébrica dos conjuntos
Resumo em português
A noção de número surreal foi introduzida por J.H. Conway em meados da década de 1970: os números surreais constituem uma classe (própria) linearmente ordenada No contendo a classe de todos os números ordinais (On) e que, trabalhando dentro da base conjuntista NBG, pode ser definida por uma recursão na classe On. Desde então, apareceram muitas construções desta classe e foi isolada uma axiomatização completa desta noção que tem sido objeto de estudo devido ao grande número de propriedades interessantes, incluindo entre elas resultados modelos-teóricos. Tais construções sugerem fortes conexões entre a classe No de números surreais e as classes de todos os conjuntos e todos os números ordinais. Na tentativa de codificar o universo dos conjuntos diretamente na classe de números surreais, encontramos algumas pistas que sugerem que esta classe não é adequada para esse fim. O presente trabalho é uma tentativa de se obter uma "teoria algébrica (de conjuntos) para números surreais" na linha da Teoria dos Algébrica dos Conjuntos - uma teoria categorial de conjuntos introduzida nos anos 1990: estabelecer links abstratos e gerais entre a classe de todos números surreais e um universo de "conjuntos surreais" emelhantes às relações entre a classe de todos os ordinais (On) e a classe de todos os conjuntos (V), que também respeite e expanda os links entre as classes linearmente ordenadas de todos ordinais e de todos os números surreais. Introduzimos a noção de álgebra surreal (parcial) (SUR-álgebra) e exploramos algumas das suas propriedades categoriais, incluindo SUR-álgebras (relativamente) livres (SA, ST). Nós estabelecemos links, em ambos os sentidos, entre SUR-álgebras e álgebras ZF (a pedra angular da Teoria Algébrica dos Conjuntos). Desenvolvemos os primeiros passos de um determinado tipo de teoria de conjuntos baseada (ou ranqueada) em números surreais, que expande a relação entre V e On.
 
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tese_dimi_2018_09_14.pdf (965.75 Kbytes)
Data de Publicação
2019-03-26
 
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