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Dissertação de Mestrado
DOI
10.11606/D.43.2011.tde-29092011-162402
Documento
Autor
Nome completo
Gabriela Iunes Depetri
E-mail
Unidade da USP
Área do Conhecimento
Data de Defesa
Imprenta
São Paulo, 2011
Orientador
Banca examinadora
Saa, Alberto Vazquez (Presidente)
Aguiar, Marcus Aloizio Martinez de
Piza, Antonio Fernando Ribeiro de Toledo
Título em português
Coreografias no problema de N corpos
Palavras-chave em português
Física matemática
Gravidade
Mecânica clássica
Sistemas dinâmicos (física matemática)
Resumo em português
O objetivo deste trabalho é a obtenção numérica de soluções periódicas para o problema geral de N corpos sujeitos apenas à atração gravitacional mútua. Em particular, procuramos soluções chamadas de coreografias, que apresentam em comum a propriedade de que todos os corpos se movem sobre a mesma curva. O interesse neste tipo de solução aumentou muito recentemente devido aos avanços na Física das ondas gravitacionais. Com a possível detecção de ondas gravitacionais prevista para um futuro próximo, todas as configurações periódicas do problema de N corpos passam a ser consideradas como possíveis fontes de radiação gravitacional. Identificar os padrões de radiação associados a estas órbitas é uma das tarefas prementes atualmente na área. Tendo isso em vista, iremos calcular também as ondas gravitacionais emitidas por um sistema em que os corpos que o constituem seguem uma órbita coreográfica. Começamos este trabalho com um capítulo que descreve historicamente a busca pela solução geral do problema de N corpos, inicialmente motivada pelo interesse na análise da estabilidade do Sistema Solar. Em seguida, no Capítulo 2, apresentamos as principais definições e teoremas que serão utilizados ao longo do texto. O leitor pode escolher entre seguir este capítulo no início de sua leitura, ou então utilizá-lo para consulta quando necessário. No Capítulo 3, identificamos os graus de liberdade do sistema formado pelos N corpos e determinamos quais grandezas físicas nele se conservam, através do Teorema de Noether. Com isso estabelecemos a não integrabilidade deste sistema, no sentido de Liouville, para N > 2. Escrevemos também a solução geral do problema de dois corpos, conhecido como problema de Kepler, e mostramos duas soluções particulares para o problema de três corpos com massas iguais, conhecidas como soluções de Euler (1765) e Lagrange (1772). Na solução de Euler, os três corpos estão dispostos sobre uma mesma reta que gira com velocidade angular constante ao redor do seu centro de massa, e na de Lagrange, estão dispostos sobre os vértices de um triângulo equilátero que gira com velocidade angular constante ao redor do seu centro de massa. Com o intuito de descrever as soluções periódicas conhecidas para o Problema de N Corpos, no Capítulo 4 estudaremos as órbitas homográficas, que apresentam a característica de que a configuração do sistema em qualquer instante pode ser obtida através de uma rotação composta com uma dilatação/contração da configuração inicial. Essas soluções generalizam as soluções de Euler e Lagrange citadas anteriormente. No Capítulo 5, analisaremos as órbitas coreográficas. Esta classe de soluções foi descoberta por Cris Moore em 1993, que encontrou numericamente uma solução coreográfica para o problema de três corpos em que eles seguem uma mesma curva em forma de oito. A existência e a estabilidade desta solução foram estudadas de maneira rigorosa por Richard Montgomery e Alain Chenciner. Neste trabalho, damos um esboço de como construir a solução em forma de oito no caso em que as massas são idênticas. Simularemos esta e outras órbitas coreográficas, além de algumas outras órbitas periódicas descritas anteriormente, através do método de integração de Runge-Kutta de quarta ordem. Finalmente, no Capítulo 6 calculamos as ondas gravitacionais emitidas pelas órbitas homográficas e coreográficas simuladas anteriormente. Finalizaremos com uma breve discussão comparando os padrões de ondas gravitacionais obtidos para as diferentes órbitas e analisando a possibilidade de determinar a fonte de emissão a partir da medida de um sinal de uma onda gravitacional.
Título em inglês
Choreographies in the N-body problem
Palavras-chave em inglês
Classical mechanics
Dynamical systems (mathematical physics)
Gravity
Mayhematical physics
Resumo em inglês
The purpose of this work is the numerical computing of the periodic solutions to the N-body problem, that is, the general problem of determinig the motion of N bodies exclusively subject to gravitational forces between them. In particular, we search for solutions that were named choreographies, which have in common the property that all bodies move along the same curve. The interest in this kind of solution has recently increased due to technological advances in Gravitational Wave (GW) Physics. As the detection of Gws is foreseen for the near future, all periodic configurations of the N-body problem may be considered as possible sources of gravitational radiation. Identifying the patterns of radiation associated to these orbits is nowadays one of the pressing tasks in this field. Having this fact in mind, we calculate the GWs emitted by a system in which all bodies describe a choreographic orbit. In Chapter 1, we briefly describe the history of the search for the general solution to the N-body Problem, initially motivated by the interest in the stability analysis of the Solar System. Next, in Chapter 2, we present the main definitions and theorems to which we refer during this text. The reader may opt between following this chapter as he begins to read this thesis and consulting it only if necessary or when he is referred to. In Chapter 3, we identify the degrees of freedom of the system consisting of N bodies and determine the physical quantities it conserves, through Noethers theorem. Doing that, we establish the non-integrability of our dynamical system, in the sense of Liouville integrability, if N > 2. We also give the general solution to the 2-body problem, known as Keplers Problem, and present two particular solutions to the 3-body Problem, known as Eulers solution (1765) and Lagranges solution (1772). In Eulers solution, all three bodies are in the same line, which revolves around its center of mass, and in Lagranges solux tion they are at the vertices of an equilateral triangle, which also revolves around its center of mass. In order to describe all known periodic solutions to the N-body Problem, in Chapter 4 we study homographic orbits, that is, orbits in which the configuration at any instant can be obtained by a rotation and a dilation/contraction of the initial configuration. These solutions generalize the solutions by Euler and Lagrange mentioned above. In Chapter 5, we analyze choreographic orbits. This class of solutions was discovered by Cris Moore in 1993, who computed numerically a choreographic solution in which the bodies move along the same curve in the shape of an eight. The existence and stability of this orbit were rigorously studied by Richard Montgomery and Alain Chenciner. Here, we sketch the construction of the figure eight solution in the particular case where all masses are identical. We simulate this and other choreographic solutions, as well as some other periodic solutions described before, through the use of a fourth order Runge- Kutta method of numerical integration. Finally, in Chapter 6 we calculate the Gws emitted by the homographic and choreographic orbits simulated before. We end this work with a brief discussion comparing the GW patterns obtained to different orbits and analyzing the possibility of determining the mission source from a measurement of a GW signal.
 
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Data de Publicação
2011-11-18
 
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