Nesta tese estudamos dois problemas diferentes na área de átomos ultra frios: Ondas de choque em condensados de Bose-Einstein e Espalhamento inelástico de átomos em um potencial de dois poços. No primeiro problema, estudamos o fluxo supersônico de um condensado de Bose-Einstein (BEC) através de um obstáculo macroscópico impenetrável delgado no sistema da equação de Schrödinger não-linear (NLS) bidimensional. Assumindo-se que a velocidade do fluxo é suficientemente alta, reduzimos assintoticamente o problema bidimensional original de valor de contorno para o fluxo estacionário através de um obstáculo alongado ao problema do pistão dispersivo unidimensional descrito pela NLS 1D dependente do tempo, no qual a coordenada original x reescalonada faz o papel de tempo e o movimento do pistão está vinculado à geometria do obstáculo. Duas ondas de choque dispersivas (DSWs) são geradas no fluxo, cada uma sendo formada em uma extremidade (frontal e traseira) do obstáculo. A DSW frontal é descrita analiticamente construindo-se soluções de modulação exatas para as equações de Whitham e a para a DSW traseira, empregamos a regra de quantização de Bohr-Sommerfeld generalizada para descrever a distribuição dos sólitons escuros. Propomos uma extensão da solução de modulação tradicional, a fim de incluir o padrão de ship-wave linear formado fora da região da DSW frontal. Realizamos simulações numéricas 2D completas e verificamos a validade das previsões analíticas. Os resultados deste problema podem ser relevantes para experimentos recentes sobre o fluxo de BECs através de obstáculos. No segundo problema, estudamos uma mistura atômica de dois átomos fermiônicos leves de spin 1/2 e dois átomos pesados em um potencial de dois poços. Processos de espalhamento inelástico entre ambas as espécies atômicas excitam os átomos pesados e renormalizam a taxa de tunelamento e a interação entre os átomos leves (efeito polarônico). A interação efetiva dos átomos leves muda de sinal e se torna atrativa quando o espalhamento inelástico é forte. Observamos também o cruzamento de níveis de energia, de um estado onde cada poço contém apenas um férmion (espalhamento inelástico fraco) para um estado onde um poço contém um par de férmions e ou outra está vazio (espalhamento inelástico forte). Identificamos o efeito polarônico e o cruzamento dos níveis de energia estudando-se a dinâmica quântica do sistema.

In this thesis we study two different problems in the field of ultracold atoms: Shock waves in Bose-Einstein condensates and Inelastic scattering of atoms in a double well. In the first problem, we study the supersonic flow of a Bose-Einstein condensate (BEC) past a slender impenetrable macroscopic obstacle in the framework of the twodimensional (2D) defocusing nonlinear Schr¨odinger equation (NLS). Assuming the oncoming flow speed sufficiently high, we asymptotically reduce the original boundary-value problem for a steady flow past a slender body to the one-dimensional dispersive piston problem described by the nonstationary NLS equation, in which the role of time is played by the stretched x-coordinate and the piston motion curve is defined by the spatial body profile. Two steady oblique spatial dispersive shock waves (DSWs) spreading from the pointed ends of the body are generated in both half-planes. These are described analytically by constructing appropriate exact solutions of the Whitham modulation equations for the front DSW and by using a generalized Bohr-Sommerfeld quantization rule for the oblique dark soliton fan in the rear DSW. We propose an extension of the traditional modulation description of DSWs to include the linear ship-wave pattern forming outside the nonlinear modulation region of the front DSW. Our analytic results are supported by direct 2D unsteady numerical simulations and are relevant to recent experiments on Bose-Einstein condensates freely expanding past obstacles. In the second problem, we study a mixture of two light spin-1/2 fermionic atoms and two heavy atoms in a double well potential. Inelastic scattering processes between both atomic species excite the heavy atoms and renormalize the tunneling rate and the interaction of the light atoms (polaron effect). The effective interaction of the light atoms changes its sign and becomes attractive for strong inelastic scattering. This is accompanied by a crossing of the energy levels from singly occupied sites at weak inelastic scattering to a doubly occupied and an empty site for stronger inelastic scattering. We are able to identify the polaron effect and the level crossing in the quantum dynamics.