Estudamos transições de fases quânticas em gases bosônicos ultrafrios aprisionados em redes óticas. A física desses sistemas é capturada por um modelo do tipo Bose-Hubbard que, no caso de um sistema sem desordem, em que os átomos têm interação de curto alcance e o tunelamento é apenas entre sítios primeiros vizinhos, prevê a transição de fases quântica superfluido-isolante de Mott (SF-MI) quando a profundidade do potencial da rede ótica é variado. Num primeiro estudo, verificamos como o diagrama de fases dessa transição muda quando passamos de uma rede quadrada para uma hexagonal. Num segundo, investigamos como a desordem modifica essa transição. No estudo com rede hexagonal, apresentamos o diagrama de fases da transição SF-MI e uma estimativa para o ponto crítico do primeiro lobo de Mott. Esses resultados foram obtidos usando o algoritmo de Monte Carlo quântico denominado Worm. Comparamos nossos resultados com os obtidos a partir de uma aproximação de campo médio e com os de um sistema com uma rede ótica quadrada. Ao introduzir desordem no sistema, uma nova fase emerge no diagrama de fases do estado fundamental intermediando a fase superfluida e a isolante de Mott. Essa nova fase é conhecida como vidro de Bose (BG) e a transição de fases quântica SF-BG que ocorre nesse sistema gerou muitas controvérsias desde seus primeiros estudos iniciados no fim dos anos 80. Apesar dos avanços em direção ao entendimento completo desta transição, a caracterização básica das suas propriedades críticas ainda é debatida. O que motivou nosso estudo, foi a publicação de resultados experimentais e numéricos em sistemas tridimensionais [Yu et al. Nature 489, 379 (2012), Yu et al. PRB 86, 134421 (2012)] que violam a lei de escala $\phi= u z$, em que $\phi$ é o expoente da temperatura crítica, $z$ é o expoente crítico dinâmico e $ u$ é o expoente do comprimento de correlação. Abordamos essa controvérsia numericamente fazendo uma análise de escalonamento finito usando o algoritmo Worm nas suas versões quântica e clássica. Nossos resultados demonstram que trabalhos anteriores sobre a dependência da temperatura de transição superfluido-líquido normal com o potencial químico (ou campo magnético, em sistemas de spin), $T_c \propto (\mu-\mu_c)^\phi$, estavam equivocados na interpretação de um comportamento transiente na aproximação da região crítica genuína. Quando os parâmetros do modelo são modificados de maneira a ampliar a região crítica quântica, simulações com ambos os modelos clássico e quântico revelam que a lei de escala $\phi= u z$ [com $\phi=2.7(2)$, $z=3$ e $ u = 0.88(5)$] é válida. Também estimamos o expoente crítico do parâmetro de ordem, encontrando $\beta=1.5(2)$.

In this thesis, we have studied phase transitions in ultracold atoms trapped in optical lattices. The physics of these systems is captured by Bose-Hubbard-like models, which predicts a quantum phase transition (the so called superfluid-Mott insulator, or SF-MI) when varying the potential depth of the optical lattice in a system without disorder, where atoms have short range interactions, and tunneling is allowed only between nearest neighbors. Our studies followed two directions, one is concerned with the influence of the geometry of the lattice namely, we study the changes in the phase diagram of the SF-MI phase transition when the optical lattice is hexagonal. A second direction is to include disorder in the original system. In our study of the hexagonal lattice, we obtain the phase diagram for the SF-MI transition and give an approximation for the critical point of the first Mott lobe, using a quantum Monte Carlo algorithm called Worm. We also compare our results with the ones from the squared lattice and obtained using mean-field approximation. When disorder is included in the system, a new phase emerge in the ground-state phase diagram intermediating the superfluid and Mott-insulator phases. This new phase is called Bose-glass (BG) and the quantum phase transition SF-BG was the subject of many controversies since its first studies in the late 80s. Though many progress towards its thorough understanding were made, basics characterization of critical proprieties are still under debate. Our study was motivated by the publication of recent experimental and numerical studies in three-dimensional systems [Yu et al. Nature 489, 379 (2012), Yu et al. PRB 86, 134421 (2012)] reporting strong violations of the key quantum critical relation, $\phi= u z$, where $\phi$ is the critical-temperature exponent, $z$ and $ u$ are the dynamic and correlation length critical exponents, respectively. We addressed this controversy numerically performing finite-size scaling analysis using the Worm algorithm, both in its quantum and classical scheme. Our results demonstrate that previous work on the superfluid-to-normal fluid transition-temperature dependence on chemical potential (or magnetic field, in spin systems), $T_c \propto (\mu-\mu_c)^\phi$, was misinterpreting transient behavior on approach to the fluctuation region with the genuine critical law. When the model parameters are modified to have a broad quantum critical region, simulations of both quantum and classical models reveal that the $\phi= u z$ law [with $\phi=2.7(2)$, $z=3$, and $ u = 0.88(5)$] holds true. We also estimate the order parameter exponent, finding $\beta=1.5(2)$.