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Dissertação de Mestrado
DOI
https://doi.org/10.11606/D.43.2011.tde-04042011-094122
Documento
Autor
Nome completo
Daniel Câmara de Souza
E-mail
Unidade da USP
Área do Conhecimento
Data de Defesa
Imprenta
São Paulo, 2011
Orientador
Banca examinadora
Malta, Coraci Pereira (Presidente)
Caldas, Ibere Luiz
Kraenkel, Roberto Andre
Título em português
Estudo da dinâmica de um oscilador amortecido com retroalimentação retardada
Palavras-chave em português
Caos
Equações diferenciais com retardamento
Equações diferenciais funcionais
Física matemática
Sistemas dinâmicos
Resumo em português
A dinâmica da equação diferencial com retardo x 2 pontos + 2ax ponto + bx = f(x ), para a função não linear f(x) = tanh(x), foi analisada como função dos parâmetros a, b, e do retardo , onde x = x(t ). Esse modelo descreve um oscilador harmônico amortecido sujeito a retroalimentação com retardo . Nesse estudo, examinamos os casos de retroalimentação negativa ( < 0) e positiva ( > 0). Usamos o método de passos para mostrar a propriedade de suavização da solução, da equação diferencial não linear com retardo, com o crescimento de t. Fizemos a análise da estabilidade local, construímos as cartas de estabilidade no espaço de parâmetros, e mostramos que o espectro de autovalores é discreto e, no máximo, enumerável. Foram construídos diagramas de bifurcação que exibiram a ocorrência da bifurcação de Hopf supercrítica, da bifurcação de forquilha supercrítica, e da bifurcação de Hopf dupla. Para alguns pontos de bifurcação de Hopf dupla, ressonantes e não ressonantes, foi calculada numericamente a série temporal, construído o espaço de fase e gerado o mapa de primeiro retorno para uma dada seção de Poincaré. Por fim, realizamos a discretização da equação do oscilador e fizemos uma breve análise da dinâmica da equação não linear de diferenças resultante.
Título em inglês
Study of teh dynamics of the damped oscillator with delayed feedback
Palavras-chave em inglês
Chaos
Delay differential equations
Dynamical systems
Functional differential equations
Mathematical physics
Resumo em inglês
The dynamics of the delay differential equation x 2 pontos + 2ax ponto + bx = f(x ), for the nonlinear function f(x) = tanh(x), has been analyzed as a function of the parameters a, b, and the delay , where x = x(t ). This model describes a damped harmonic oscillator subject to feedback with delay . Here, we have examined the cases of negative feedback (< 0) and positive feedback ( > 0). The method of steps have been used to show the property of solutions smoothing, for the nonlinear delay differential equation, for the increasing t. We have analyzed the local stability, made the stability charts, and showed that the spectrum of eigenvalues is discrete and at most enumerable. We have constructed the bifurcation diagrams that showed the occurrence of supercritical Hopf bifurcation, the supercritical pitchfork bifurcation and double Hopf bifurcation. For some points of resonant and non-resonant double Hopf bifurcation we have numerically calculated the time series, produced the phase space, and generated the first return map for a given Poincaré section. Finally, we have performed a discretization of the equation and made a brief analysis of the dynamics of the resulting nonlinear difference equation.
 
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Data de Publicação
2011-09-12
 
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