Investiga-se, em tempo discreto, o problema multi-período de otimização de carteiras generalizado em média-variância cujos coeficientes de mercado são modulados por uma cadeia de Markov finita. O problema multi-período generalizado de média-variância com saltos Markovianos (PGMV ) é um problema de controle estocástico sem restrição cuja função objetivo consiste na maximização da soma ponderada ao longo do tempo da combinação linear de três elementos: o valor esperado da riqueza do investidor, o quadrado da esperança desta riqueza e a esperança do quadrado deste patrimônio. A principal contribuição deste trabalho é a derivação analítica de condições necessárias e suficientes para a determinação de uma estratégia ótima de investimento para o problema PGMV . A partir deste modelo são derivadas várias formulações de médiavariância, como o modelo tradicional cujo objetivo é maximizar o valor esperado da riqueza final do investidor, dado um nível de risco (variância) do portfólio no horizonte de investimento, bem como o modelo mais complexo que busca maximizar a soma ponderada das esperanças da riqueza ao longo do tempo, limitando a perda deste patrimônio em qualquer momento. Adicionalmente, derivam-se formas fechadas para a solução dos problemas citados quando as restrições incidem somente no instante final. Outra contribuição deste trabalho é a extensão do modelo PGMV para a solução do problema de seleção de carteiras em média-variância com o objetivo de superar um benchmark estocástico, com restrições sobre o valor esperado ou sobre a variância do tracking error do portfólio. Por fim, aplicam-se os resultados obtidos em exemplos numéricos cujo universo de investimento são todas as ações do IBOVESPA.

In this work we deal with a discrete-time multi-period mean-variance portfolio selection model with the market parameters subject to Markov regime switching. The multi-period generalized mean-variance portfolio selection model with regime switching (PGMV ) is an unrestricted stochastic control problem, in which the objective function involves the maximization of the weighted sum of a linear combination of three parts: the expected wealth, the square of the expected wealth and the expected value of the wealth squared. The main contribution of this work is the analytical derivation of necessary and sufficient conditions for the existence of an optimal control strategy to this PGMV model. We show that several mean-variance models are derived from the PGMV model, as the traditional formulation in which the objective is to maximize the expected terminal wealth for a given final risk (variance), or the complex one in which the objective function is to maximize the weighted sum of the wealth throughout its investment horizon, with control over maximum wealth lost. Additionally, we derive closed forms solutions for the above models when the restrictions are just in the final time. Another contribution of this work is to extend the PGMV model to solve the multi-period portfolio selection problem of beating a stochastic benchmark with control over the tracking error variance or its expected value. Finally, we run numerical examples in which the investment universe is formed by all the stocks belonging to the IBOVESPA.